L’analyse de variance factorielle

A quoi sert cette méthode statistique?

– à comparer les moyennes obtenues par des groupes de sujets indépendants qui se différencient sur deux ou plusieurs facteurs.

ATTENTION: Cette analyse ne nous dit pas dans quel sens vont ces éventuelles différences. Pour le savoir, il est nécessaire de calculer les moyennes par groupes grâce à la commande MEANS ou à un graphique et, dans le cas d’interactions significatives, on analysera les effets simples des facteurs afin de déterminer quels effets sont impliqués dans l’interaction.

– Niveau de mesure de la VD: intervalle.
– Niveau de mesure de la VI (facteur): Nominal

– Exemple: Souvent, lorsque l’on fait une recherche, les questions que l’on se pose et les hypothèses que l’on émet impliquent plus de deux facteurs. Il en est ainsi par exemple d’une étude de Taylor et Jaggi (1974) qui ont présenté des scénarios à des sujets Hindous. Ces scénarios mettaient en scène un personnage  effectuant des actions en rapport avec un autre personnage, auquel le sujet était prié de s’identifier. Les sujets devaient ensuite cocher parmi une séries de possibilités la cause qui expliquait le mieux le comportement de ce personnage. Ces explications étaient soit internes (attribuées à des dispositions de l’acteur) soit externes (attribuées à des circonstances extérieures). La variable dépendante était le degré d’internalité des explications choisies. Ces actions étaient soit désirables soit indésirables. En outre, le personnage en question était soit hindou soit musulman. Par ailleurs, dans chacun de ces cas, il effectuait soit un comportement positif soit un comportement négatif. Le design peut donc être schématisé de la façon suivante:

 

 

   Valence du comportement (Val)Groupe d’appartenance de l’acteur

 

(GA)

positif négatif
Hindou (endogroupe)
Musulman (exogroupe)

Taylor et Jaggi ont formulé l’hypothèse selon laquelle le choix d’une forme d’attribution répondrait à des motivations identaires. En attribuant un comportement négatif à des circonstances externes, on excuse en quelque sorte l’acteur. Taylor et Jaggi on supposé que l’on procéderait surtout de la sorte lorsque l’acteur appartient à l’endogroupe. Inversément, on attribuera moins les comportements positifs de membre de l’exogroupe et plus les comportements positifs de membre de l’endogroupe à des dispositions internes. De cette façon on accentue le mérite de son coreligionnaire. Donc, si on considère I comme un score reflétant le degré d’internalité des attributions, on peut noter les hypothèses comme suit:

Hypothèse n°1:  Si  GA=Hindou, I sera plus élevé lorsque Val est + que lorque Val est -.

Hypothèse n°2:  Si  GA=Musulman, I sera plus élevé lorsque Val est – que lorsque Val est +.

Ces hypothèses ont été confirmées par les résultats. Ce qui est intéressant dans le cas présent est que les hypothèses reposent sur la combinaison de deux variables indépendantes, qu’on appelle facteurs. On ne peut pas réduire ces hypothèses à deux hypothèses différentes impliquant chacun un des facteurs: l’effet de la valence dépend du groupe d’appartenance de l’acteur et inversément. Il ne serait donc pas possible de vérifier les hypothèse de Taylor et Jaggi en effectuant deux analyses de variance à un facteur en utilisant dans un premier cas la valence comme facteur et dans l’autre le groupe d’appartenance.  De telles situations, dans lesquelles l’effet d’un facteur dépend de la valeur d’un autre, sont qualifiées d’interactions. Dans le cas présent chaque cellule est simultanément déterminée par les deux facteurs qui sont contrôlés. On parle d’analyse de variance factorielle pour désigner de telles situations dans lesquelles deux facteurs ou plus sont manipulés simultanemént.   Le premier grand avantage de cette forme d’analyse est donc qu’elle permet de détecter des interactions entre facteurs.

Néanmoins, l’analyse de variance factorielle n’est pas seulement utile lorsqu’on souhaite détecter des interactions. Lorsqu’une variable à un effet indépendemment de l’autre, on parle d’effet principal de cette variable ou, en anglais, de main effect. Par exemple si les sujets faisaient plus d’attributions internes pour les comportements positifs quels que soit le groupe d’appartenance du personnage, on parlerait d’un effet principal de la variable valence. Même si l’on souhaite détecter de tels effets principaux pour deux variables différentes, une ANOVA (abréviation d’analyse de variance factorielle) est bienvenue. Effectivement, même s’il serait théoriquement possible d’appliquer deux oneway séparés, cette solution serait moins puissante que l’ANOVA ou, en d’autre termes, nous aurions besoin de plus de sujets pour atteindre le même degré de puissance.

Effets principaux et  Interactions

Avant de passer à l’aspect statistique de l’ANOVA, il est important de maîtriser la représentation graphique de résultats d’une ANOVA, en particulier si elle comporte deux facteurs. On peut facilement représenter ceux-ci en utilisant l’axe inférieur pour représenter les valeurs du premier facteur et deux lignes différentes pour représenter les valeurs de la variables indépendantes en fonction de chacun des niveaux du second facteur. Ci-dessous, vous trouverez différentes représentations possibles de l’effet des deux facteurs sur le score d’internalité:

1. Un Effet principal

Dans le premier diagramme, on constate que les lignes correspondant à Hindou et à Musulman sont confondues. Donc quel que soit  le groupe d’appartenance, il y a plus d’internalité pour les explications de comportements positifs que négatif. On dira qu’il y uniquement un seul effet principal: un effet de la valence.

 

  1. Aucun effet

Dans le second diagramme, non seulement les lignes sont confondues mais il n’y a pas d’effet de la valence. Ici donc, il n’y a aucun effet.

 

      3. 2 Effets principaux

 

Dans le troisième cas, on voit que lorsque le personnage est hindou, il obtient un score plus élevé que lorsqu’il est musulman quelle que soit la valence. En outre, quelle que soit l’appartenance du personnage, les  comportements positifs obtiennent un score d’internalité plus élevé que les comportements négatifs. Il y a donc ici deux effets principaux: un effet de la valence et un effet du groupe d’appartenance.

 

      4. interaction (qualitative)

Dans le quatrième cas, il serait absurde de parler de main effect d’un des facteurs. Effectivement même  la moyenne globale des comportements ne change pas si on n’examine qu’un seul des facteurs, la prise en compte des deux facteurs montre que cet absence d’effet principal masque une interaction. Effectivement, les  hindous obtiennent un score d’internalité plus élevé pour les comportements positifs que négatifs et inversement pour les Musulmans. Il y a donc une interaction entre les deux effets sans effet principal. On parle ici d’interaction qualitative car la direction des effets d’un facteur sur la V.D. est différente selon les niveaux de l’autre facteur.

 

 

5. Deux effets principaux plus un effet d’interaction (quantitative)

 

Enfin dans le dernier cas, on remarque deux effets principaux: les Musulmans obtiennent un score plus élevé que les Hindous quelle que soit la valence et les comportements positifs obtiennent un score moins élevé que les comportements négatifs quelle que soit l’appartenance. Cependant l’effet du groupe d’appartenance est plus important pour les comportements négatifs. Donc, outre les deux effets principaux, il y a une interaction entre les deux facteurs (on parle d’interaction quantitative car la direction des effets d’un facteur sur l’autre varie en amplitude selon les niveaux de l’autre facteur mais conserve la même direction).

 

Comment détecter une interaction en un coup d’oeil? Il suffit que les lignes ne soient pas parallèles pour qu’il y ait interaction. Cela ne signifie évidemment pas qu’elle soit significative.

L’ANOVA a deux facteurs répond donc à trois questions indépendante:

– Y a-t-il un effet du premier facteur independemment du second?

– Y a-t-il un effet du second facteur independemment du premier?

– L’effet d’un facteur dépend-il de l’autre?

Commandes SPSS

Cliquer sur: Analyze/ General Linear Model/Univariate

 

-Faites glisser la variable dépendante dans “dependent” et les facteurs dans “factors”. Cliquez sur “define range” pour spécifier les niveaux qui vous intéressent (n’oubliez pas que les niveaux doivent être définis numériquement). Appuyez sur OK.

-en cliquant sur options vous pouvez obtenir différentes informations utiles: les moyennes des cellules, un test d’homogénéité de variance, une estimation de puissance, une estimation de l’ampleur de chaque effet. Cochez celles qui vous intéressent.

-Vous voyez apparaître la table d’analyse de variance.

Comment lire l’Output?

Ci-dessous un tableau d’analyse de variance pour un design 2 x 2. Les informations qui nous intéressent sont indiquées en rouge ci-dessous.

Si le F (cases rouge) est significatif (c’est-à-dire si le chiffre situé dans  la case “verte” est inférieur au seuil de .05), l’effet correspondant est significatif. Dans les cases jaunes sont indiqués les degrés de liberté de l’effet et dans la case bleue ceux de l’erreur.

On notera par exemple: Nous avons observé un effet significatif du sexe, F(1,116) = 5.03,p = .03 ainsi qu’un effet d’interaction entre le sexe et la condition, F(1,116) = 4.68, p = .01.

 

Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: attitude

Source Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig.
Corrected Model 24.743(a) 5 4.949 3.030 .013
Intercept 4955.247 1 4955.247 3034.499 .000
SEXE 8.211 1 8.211 5.028 .027
CONDNUM .514 2 .257 .157 .855
SEXE * CONDNUM 15.293 2 7.647 4.683 .011
Error 189.425 116 1.633
Total 5416.444 122
Corrected Total 214.168 121
a R Squared = .116 (Adjusted R Squared = .077)

 

Analyse des effets simples

Lorsque vous avez obtenu une interaction, vous souhaitez, comme dans le cas précédent, vous souhaitez généralement la décomposer. Par exemple, si vous constatez qu’il y a une interaction entre le sexe et la condition, il vous intéressera peut-être d’examiner séparément l’effet de la condition pour chaque sexe. Cet effet d’un facteur à une modalité de l’autre facteur est qualifié d’effet simple.

Pour effectuer ce type d’analyse, vous devez passer par la syntaxe (file/new/syntax) et taper les commandes suivantes (si, par exemple, vous voulez comparer l’effet du facteur 2 séparément pour les modalités du facteur 1):
GLM VD by FACTEUR1 FACTEUR2
/emmeans=tables(FACTEUR1*FACTEUR2)compare(FACTEUR2).

Par exemple, dans le cadre d’une expérience dans laquelle on expose des gens à un film neutre, joyeux ou triste, on mesure ensuite leur attirance pour un comparse hétérosexuel siégeant à côté d’eux. Les données (fictives) font état d’une interaction entre le sexe du spectateur et la condition (type de film). Si on veut examiner séparément l’effet du film chez les hommes et chez les femmes, on pourra appliquer la commande suivante:

GLM Attirance by sexe condition
/emmeans=tables(condition*sexe)compare(condition).

Pour lancer les commandes, vous les sélectionner et vous cliquez ensuite sur le bouton “play” (triangle) dans la barre d’outils.
Ci-dessous, vous pouvez voir les moyennes correspondant à chaque condition (remarque: les données ont été inventées pour le propos de l’expérience). En consultant le tableau inférieur, on peut constater que l’effet du film n’est significatif que chez les sujets féminins (qui semblent plus attirées par leur partenaire après avoir vu un film triste).

Si on avait voulu examiner l’effet du sexe en fonction de la condition, il aurait suffi de remplacer “condition” par “sexe” dans la parenthèse située à côté de “compare”.

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